Curvas en los espacios 3-dimensionales pseudo-riemannianos de curvatura constante

Abstract

1. Objetivos

El principal objetivo de la tesis consiste en obtener nuevos resultados en el estudio de las curvas de Bertrand, curvas rectificantes y hélices slant en los espacios tridimensionales de curvatura constante. Presentamos las propiedades más representativas de cada familia de curvas, atendiendo al tipo de curva que estudiamos (curva de Frenet, pseudo-nula o nula). Determinamos sus ecuaciones naturales (en función de sus curvaturas y del parámetro arco),y obtenemos distintas propiedades y teoremas de caracterización. Para cada familia de curvasintroducimos determinadas superficies (superficie cónica, superficie hélice) que nos permitiránsu integración geométrica.

2. Metodología

La metodología es la propia de cualquier trabajo de investigación básica en matemáticas. En primer lugar, estudio bibliográfico del tema objeto de la tesis. Posteriormente, estudio y comprensión de los diferentes artículos publicados que determinan la base de dicho tema. Estudio, al mismo tiempo, de las herramientas y técnicas necesarias para la comprensión de los diferentes trabajos. Estudio del problema utilizando todo el material revisado, reflejando los avances en artículos de investigación que serán publicados en revistas internacionales de reconocido prestigio. Participación activa en el seminario de geometría que se viene realizando en el grupo de investigación al que pertenezco donde se exponen los avances y problemas encontrados. Discusión de los problemas y avances con el director de la tesis.

3. Resultados o conclusiones

El primer avance destacable para las curvas de Bertrand es la extensión de sudefinición a los espacios modelo 3-dimensionales, lo cual nos permite obtener su ecuación natural. Caracterizamos las curvas planas y las hélices como las únicas curvas de Bertrand con infinitas conjugadas.Presentamos teoremas de caracterización para curvas de Bertrand pseudo-nulas y nulas. Caracterizamos los funcionales de energía, que dependen sólo de la curvatura de la curva, cuyo espacio de trayectorias está formado únicamente por curvas de Bertrand.También presentamos novedades en el estudio e integración de las curvas de Bertrand en los espacios pseudo-euclídeos.

Realizamos la extensión de la definición de curva rectificante y su vinculación con las superficies cónicas. Demostramos que las curvas rectificantes son las geodésicas de las superficies cónicas. Encontramos las parametrizaciones de estas geodésicas y la relación que guardan sus curvaturas con su parámetro arco (ecuación natural).Caracterizamos las superficies desarrollables rectificantes. Concretamente, estas superficies son superficies cónicas si, y sólo si, la curva que la genera es rectificante. El teorema principal ofrece una integración geométrica para las curvas rectificantes a partir de curvas esféricas. Por último, tenemos un teorema de caracterización de las curvas rectificantes como mínimos de una determinada función y un resultado que nos relaciona las curvas rectificantes que son curvas de Bertrand con las hélices cónicas generalizadas.

Por último,extendemos la definición de las hélices slant. Obtenemos que no existen hélices slant en los espacios hiperbólico y de-Sitter. Determinamos las ecuaciones naturales de las hélices slant. Introducimos el concepto de superficie hélice y probamos que son superficies llanas. A continuación caracterizamos las superficies llanas que son de tipo hélice. Por último, conseguimos la integración geométrica de las hélices slant y las caracterizamos como las geodésicas de las superficies hélice. Terminamos con la integración geométrica de las hélices slantpseudo-nulas y nulas.

La tesis contribuye al estudio de las curvas en los espacios 3-dimensionales pseudo-riemannianos de curvatura constante, siendo éste un tema que se enmarca entre la geometría diferencial y la geometría de Riemann. Nuestra contribución ha sido publicada en 8 artículos de investigación enrevistas internacionales de alto impacto, tal y como se puede ver en las referencias [LO12], [LO13a], [LO13b], [LO14], [LO15], [LO16a], [LO16b] y [LO17] de la memoria que se presenta.

ABSTRACT OF THE THESIS

1. Objectives

The main aim of the thesis is to obtainnew results in the study of curves of Bertrand, rectifying curves and slant helices in the three-dimensional spaces of constant curvature. We present the most important properties for each family of curves, bearing in mind the type of the curve (Frenet, pseudo-null or null curve). We obtain its natural equations (in terms of its curvatures and arc parameter), and we obtain many properties and characterization theorems. For each family we introduce some surfaces (conic surface, helix surface) which allow us its geometric integration.

2. Research methodology

The methodology followed in preparing this thesis is the standard one in any research work in mathematics. A bibliographic review of the field of the thesis. Once we have known the literature, study and comprehension of the different published papers which determine the base of such a topic. The study, at the same time, of the useful tools and techniques in order to understand different works.Study of the problem by using the studied material, reflecting progresses in research papers to publish in international journals.Active participation in the geometry seminar which carries out in the research group in which I am included.Discussions of the problems and progresses with the advisor of the thesis.

3. Results or conclusions

Thefirstcontribution in theBertrand’s curve topicistheextension of itsdefinition to 3-dimensional modelspaces, and thisallowsus to obtainits natural equation.Wecharacterizeplane curves and ordinary hélices as theonly Bertrand curves withinfiniteBertrand conjugates. Wepresentseveralcharacterizationtheoremsforpseudo-null and null Bertrand curves. Wecaracterizethefunctionals, dependingonlyonthecurvature, whosephasespaceconsistsonly of Bertrand curves. Wealsopresent new results in thestudy and integration of Bertrand curves in pseudo-Euclideanspaces.

We perform the extension of the rectifying curve definition and its connection with conic surfaces. We show that the rectifying curves are the geodesics of conic surfaces. We find the parameterizations of these geodesics and the relationship of their curvatures with their arc parameter (natural equation). We characterize the developable rectifying surfaces. Specifically, these surfaces are conical surfaces if, and only if, the curve generating it is rectifying. The main theorem offers a geometric integration for the rectifying curves from spherical curves. Finally, we have a theorem of characterization of the rectifying curves as minimums of a given function and a result that relates the rectifying curves that are curves of Bertrand with the generalized conical helices.

Finally, we extend the definition of the slant helices. We obtain that there are no slant helices in the hyperbolic and de-Sitter spaces. We determine the natural equations of slant helices. We introduce the concept of helix surface and prove that they are flat surfaces. Then we characterize the flat surfaces that are helix surfaces. Finally, we achieve the geometric integration of the slant helices and characterize them as the geodesics of the helix surfaces. We conclude with the geometric integration of the pseudo-null and null slant helices.

The thesis contributes to the study of the curves in the 3-dimensional pseudo-Riemannianspaces of constant curvature, being this a subject that is between the differential geometry and the Riemannian geometry. Our contribution has been published in 8 research papers in international journals of high impact, as can be seen in references [LO12], [LO13a], [LO13b], [LO14], [LO15], [LO16a], [LO16b] and [LO17] of the memory being presented.