Cadenas de órbitas periódicas en la variedad S2xS1.

Abstract

Los flujos Morse-Smale constituyen la clase de los flujos más simples entre los estructuralmente estables. El estudio de este tipo de flujos, como el de otros flujos genéricos, está dirigido a su clasificación topológica. <br/>La caracterización topológica del conjunto de órbitas periódicas de un sistema Morse-Smale No Singular (en adelante, NMS), sobre la esfera S3 ha sido realizado por M. Wada. Aunque esto ha supuesto un paso muy importante en el estudio cualitativo de los sistemas NMS, la variedad sobre la que se estudia es muy restrictiva, por lo que es interesante hacer un estudio análogo sobre otras variedades tridimensionales .<br/>Dado que resultados previos de J.W. Morgan y D. Asimov asocian los centros de los toros en una descomposición en asas redondas de una variedad tridimensional con las órbitas periódicas del flujo NMS, y que cada órbita periódica de un sistema dinámico continuo sobre una variedad de dimensión tres puede considerarse como un nudo, estudiaremos la dinámica del sistema aplicando resultados de Teoría de Nudos sobre las cadenas formadas por las órbitas periódicas del flujo NMS. Por tanto, nuestro primer objetivo es obtener la descomposición en asas redondas de la variedad, encontrando todas las posibles asas ampliadas en S2xS1.<br/>A partir de esta descomposición en asas redondas de la variedad, se obtiene la caracterización topológica del conjunto de órbitas periódicas de un sistema NMS sobre S2xS1 en términos de siete operaciones sobre cadenas de órbitas periódicas con índice, cadenas y órbitas que pueden ser locales o globales en la variedad.<br/>A continuación se lleva a cabo un estudio de los flujos NMS en S2xS1 con pocas órbitas y asociado a las operaciones previamente descritas. Asimismo, se define la suma conexa de flujos sobre variedades que son, a su vez, suma conexa de las variedades sobre las que están definidos los flujos respectivos. Además, se presta especial atención al flujo NMS asociado a asas ampliadas provenientes de pegadas esenciales de asas, cuya relevancia es notoria en el caso en que S2xS1 sea espacio de fases de un sistema Hamiltoniano integrable con una integral primera no degenerada, llamada integral de Bott.<br/>S2xS1 es interesante también, desde otro punto de vista, ya que aparece como espacio de fases de sistemas Hamiltonianos Bott integrables que modelizan casos prácticos de Mecánica Celeste, tales como el problema de Dos Centros Fijos. En nuestro estudio de este problema demostramos que el espacio de fases global es, para algunos valores de la energía, la variedad S2xS1. La caracterización topológica del conjunto de órbitas periódicas obtenida previamente permite estudiar las operaciones sobre cadenas con índices que generan las cadenas de órbitas periódicas del problema de Dos Centros Fijos y el tipo de flujos a que dan lugar.