Semi-analytical and numerical characterization of acoustic black holes in duct terminations

Abstract

En els últims anys, s’ha estudiat l’efecte dels forats negres acústics (ABHs) per tal de controlar el soroll en conductes, tot i que originàriament es van desenvolupar per la propagació d’ones estructurals en bigues i plaques. Un ABH es pot caracteritzar de diferents maneres: per mitjà de tècniques matemàtiques analítiques, amb el mètode de les matrius de transferència (TMM) o amb el mètode numèric dels elements finits (FEM), conjuntament amb experiments. En aquesta tesi es consideren els tres mètodes esmentats. Es proposa un nou marc teòric, basat en la discretització de la formulació variacional de l’equació de Helmholtz fent servir funcions de base Gaussianes. El problema considerat inclou una superfície residual rígida a la terminació de l’ABH i l’enfocament proposat permet calcular els modes de l’ABH a partir d’un problema de valors propis. Aquest enfocament semi-analític s’ha validat amb simulacions FEM i el grau de similitud és molt notable. A continuació, s’ha introduït el mètode de les matrius de transferència i s’ha aplicat al problema dels ABHs. Es demostra que la solució TMM tendeix formalment a la solució de l’equació de l’ABH en el cas límit en què el nombre d’anells tendeix a infinit. A tal efecte s’utilitza el concepte de metamaterial i es discuteix l’analogia entre una ona acústica que es propaga en un ABH i una ona que es propaga en un conducte ple d’un metafluid amb propietats físiques particulars. Finalment, s’obtenen i es discuteixen alguns resultats preliminars dels ABH obtinguts amb FEM. S’analitza la influència de diferents paràmetres, com el nombre d’anells i l’ordre de l’ABH en el coeficient de reflexió de l’ABH. Els resultats FEM són els més costosos (pel que fa al cost computacional) i els més propers a la realitat. De fet, el FEM permet visualitzar i entendre millor la física a l’interior de la terminació ABH.

En los últimos años, se ha estudiado el efecto de los agujeros negros acústicos (ABHs) para controlar el ruido en conductos, aunque originariamente se desarrollaron para la propagación de ondas estructurales en vigas y placas. Un ABH puede caracterizarse de diferentes formas: mediante técnicas matemáticas analíticas, con el método de las matrices de transferencia (TMM) o con el método numérico de los elementos finitos (FEM), a la vez que con experimentos. En esta tesis se consideran los tres métodos citados. Se propone un nuevo marco teórico, basado en la discretización de la formulación variacional de la ecuación de Helmholtz utilizando funciones de base Gaussianas. El problema considerado incluye una superficie residual rígida en la terminación del ABH y el enfoque propuesto permite calcular los modos del ABH a partir de un problema de valores propios. Este enfoque semianalítico se ha validado con simulaciones FEM y el grado de similitud es muy notable. A continuación, se ha introducido el método de las matrices de transferencia y se ha aplicado al problema de los ABHs. Se demuestra que la solución TMM tiende formalmente a la solución de la ecuación del ABH en el caso límite en el que el número de anillos tiende a infinito. A tal efecto se utiliza el concepto de metamaterial y se discute la analogía entre una onda acústica que se propaga en un ABH y una onda que se propaga en un conducto lleno de un metafluido con propiedades físicas particulares. Por último, se obtienen y se discuten algunos resultados preliminares de los ABHs obtenidos con FEM. Se analiza la influencia de distintos parámetros, como el número de anillos y el orden del ABH en el coeficiente de reflexión del ABH. Los resultados FEM son los más costosos (con respecto al coste computacional) y los más cercanos a la realidad. De hecho, el FEM permite visualizar y entender mejor la física en el interior de la terminación ABH.

In recent times, the acoustic black hole (ABH) effect has been studied for noise control in ducts, while it originates for structural waves propagating in beams and plates. The comprehension of an ABH can be tackled by different methods: mathematical and analytical techniques, transfer matrix method (TMM) and finite element method (FEM) simulations, alongside with experiments. In this thesis, the three aforementioned methods are considered. A new theoretical framework, based on Gaussian discretization of the variational formulation of Helmholtz equation is proposed. The problem considered involves a rigid residual surface at the termination of the ABH and the proposed approach allows to compute the ABH modes through an eigenvalue problem. Therefore, this theoretical approach is validated against FEM results, showing a very strong agreement. Then, the transfer matrix method is introduced and applied to the ABH problem. It is shown that the TMM solution formally tends to the solution of the ABH equation in the limit case of number of rings tending to infinity. In order to do that, the concept of a metamaterial is used and the analogy between an acoustic wave propagating in an ABH and a wave propagating in a duct filled with a metafluid with particular physical properties is discussed. Finally, some preliminary FEM results are obtained and discussed. The influence of many parameters, such as number of rings and ABH order, on the ABH performance, expressed in terms of its reflection coefficient, is discussed. FEM results are the most expensive (as for computational cost) and closest to reality. In fact, FEM allows to visualize and understand the physics inside the ABH termination.