Interpolation and equicontinuity sets in topological groups and spaces of continuous functions

Abstract

This thesis studies the relation between the existence of a particular sort of subsets of metric valued continuous functions on a topological space X and the properties of the topological space itself. The dissertation relies on how the existence of subsets of continuous functions that possess one of these two antagonist properties, almost equicontinuity and being a B-family, affects the topological space. The former property appears in the setting of dynamical systems, and the latter is a property stronger that the concept of non-equicontinuity and it is motivated by a result of Bourgain. The thesis deals with the study of the existence and the properties of interpolation sets in different settings: (i) spaces of continuous functions, (ii) topological groups and (iii) the dual of a topological group.

En esta tesis se estudia la relación que hay entre la existencia de ciertos tipos de subconjuntos de funciones valuadas en un espacio métrico y definidas en un espacio topológico X y las propiedades que posee el espacio topológico X en si. La disertación se apoya en cómo la existencia de subconjuntos de funciones continuas que poseen una de estas dos propiedades antagonistas, casi equicontinuidad y ser una B-familia, afecta al espacio topológico. La primera propiedad aparece en el contexto de los sistemas dinámicos, mientras que la segunda propiedad es un concepto más fuerte que la no equicontinuidad y viene motivada por un resultado de Bourgain. A lo largo de la tesis se lidia con el estudio de la existencia y propiedades de los conjuntos de interpolación en diferentes contextos: (i) espacios de funciones continuas, (ii) grupos topológicos y (iii) el dual de un grupo topológico.