A new invariant for C*-algebras

Abstract

L'objectiu principal d'aquesta tesi és l'estudi d'un nou invariant per a C*-àlgebres, anomenat el semigrup Cu1. La classificació de C*-àlgebres ha guanyat molt terreny durant les últimes dècades. En aquests treballs destaquen dos objectes principals: l'invariant original d'Elliott, que consta de la informació de teoria-K, juntament amb traces i l'aparellament entre aquests; i el semigrup Cuntz. El primer ha resultat molt efectiu en la classificació, principalment per C*-àlgebres simples. El segon es va introduir a finals dels anys 70 com una versió anàloga del monoide de Murray von-Neumann, llevat que considerant el conjunt d'elements positius en lloc del conjunt de projeccions. No obstant això, només recentment s'ha utilitzat aquest semigrup com invariant i ha proporcionat resultats prometedors. D'una banda, per a una àmplia classe de C*-àlgebres simples, s'ha demostrat que aquests invariants es determinen l'un a l'altre d'una manera functorial. D'altra banda, el semigrup de Cuntz és un ferm candidat a esdevenir una eina útil en la classificació de C*-àlgebres no simples. El principal inconvenient és que generalment s'ha de restringir al cas en què el grup K1 sigui trivial, ja que el semigrup de Cuntz no capta el grup d'homotopia d'unitaris de l'àlgebra. L'objectiu de la tesi és definir una versió augmentada de l'semigrup Cuntz, incorporant la informació K1 de les àlgebres i els seus ideals. En una primera part, definim el nostre nou invariant i descrivim les seves primeres propietats: el semigrup Cu1 satisfà els axiomes de Cuntz i és continu com un functor de la categoria de C*-àlgebres (separables) amb rang estable u, cap a una determinada categoria de semigrups de Cuntz. Després, determinem l'estructura reticular d'ideals per als semigrups abstractes en aquesta última categoria i la vinculem a l'reticle d'ideals de la C*-àlgebra. També obtenim alguns resultats sobre exactitud, com el fet que el semigrup Cu1 preserva successions exactes curtes. A més, recuperem functorialment el semigrup de Cuntz i el grup K1 a partir de l'semigrup Cu1. Finalment, es construeix un exemple de dues C*-àlgebres A i B que tenen semigrups de Cuntz isomorfs així com el grup K1, mentre que el semigrup Cu1 les distingeix.

El objetivo principal de esta tesis es el estudio de un nuevo invariante para C*-álgebras, llamado el semigrupo Cu1. La clasificación de C*-álgebras ha ganado mucho terreno durante las últimas décadas. En estos trabajos destacan dos objetos principales: el invariante original de Elliott, que consta de la información de teoría-K, junto con trazas y el emparejamiento entre ellos; y el semigrupo Cuntz. El primero ha resultado muy efectivo en la clasificación, principalmente para C*-álgebras simples.

El segundo se introdujo a finales de los años 70 como una versión análoga del monoide de Murray von-Neumann, salvo que considerando el conjunto de elementos positivos en lugar del conjunto de proyecciones. Sin embargo, solo recientemente se ha utilizado este semigrupo como invariante y ha proporcionado resultados prometedores. Por un lado, para una àmplia clase de C*-álgebras simples, se ha demostrado que estos invariantes se determinan el uno al otro de una manera functorial. Por otro lado, el semigrupo de Cuntz es un firme candidato a convertirse en una herramienta útil en la clasificación de C*- álgebras no simples. El principal inconveniente es que generalmente se debe restringir al caso en que el grupo K1 sea trivial, ya que el el semigrupo de Cuntz no capta el grupo de homotopía de unitarios del álgebra. El objetivo de la tesis es definir pues una versión aumentada del semigrupo de Cuntz, incorporando La información K1 de las álgebras y sus ideales.

En una primera parte, definimos nuestro nuevo invariante y describimos sus primeras propiedades: el semigrupo Cu1 satisface los axiomas de Cuntz y es continuo como functor de la categoría de C*-álgebras (separables) con rango estable uno, hacia una determinada categoría de semigrupos de Cuntz. Luego, determinamos la estructura reticular de ideales para los semigrupos abstractos en ésta última categoría y la vinculamos al retículo de ideales de la C*-álgebra. También obtenemos algunos resultados sobre exactitud, como el hecho de que el semigrupo Cu1 preserva sucesiones exactas cortas. Además, recuperamos funcionalmente el semigrupo de Cuntz y el grupo K1 a partir del semigrupo Cu1. Finalmente, construimos un ejemplo de dos C*-álgebras A y B que tienen semigrupos de Cuntz isomorfos así como el grupo K1, mientras que el semigrupo Cu1 los distingue.

The main objective of this thesis is the study of a new invariant for C*-algebras, called the Cu1 semigroup. The classification of C*-algebras has gained a lot of ground during the last decades. For that matter, two main objects stand out: the original Elliott invariant, consisting of K-Theoretical data, together with traces, and a pairing between them, and the Cuntz semigroup. The former has produced a tremendous breakthrough in the classification, mostly for simple C*-algebras.

The latter was introduced at the end of the 70's, as an analogous version of the Murray von-Neumann monoid, considering the set of positive elements instead of the set of projections. However, it is only very recently that this semigroup has been used as an invariant and it has provided promising results. On the one hand, for a rather large class of simple C*-algebras, it has been shown that these invariants determine one another in a functorial way. On the other hand, the Cuntz semigroup alone has become a useful tool in the classification of non-simple C*-algebra. The main drawback is that one usually has to restrict to the trivial K1 group case, since the Cuntz semigroup does not capture the homotopy group of unitaries in a C*-algebra. The aim of the thesis is to define an augmented version of the Cuntz semigroup, incorporating the K1 information of the C*- algebras and its ideals.

In a first part, we define our new invariant and describe its first properties: the Cu1 semigroup satisfies the Cuntz axioms and is continuous as a functor from the category of (separable) C*-algebras with stable rank one to a certain category o Cuntz semigroups. Then on, we determine the ideal lattice structure for the abstract semigroups in the latter category and we link it to the ideal lattice of the C*-algebra. We also obtain some exactness results, such as the fact that the Cu1 semigroup preserves canonical short- exact sequences of ideals. Further, we functorially recover the Cuntz semigroup and the K1 group from the Cu1 semigroup. Finally, we build an example of two C*-algebras A and B that have isomorphic Cuntz semigroup and isomorphic K1 group, even though they are non-isomorphic, since the Cu1 semigroup distinguishes them.