The checkerboard problem in finite volume methods: origins, solutions, and applications in magnetohydrodynamics

Abstract

(English) This thesis addresses the checkerboard problem in collocated Finite Volume Methods (FVM) for incompressible flows, a numerical issue caused by the decoupling of neighboring control volumes when using a collocated pressure-velocity coupling. This decoupling results in non-physical, high-frequency oscillations in the pressure field, which affect the accuracy and stability of Computational Fluid Dynamics (CFD) simulations. The research provides a mathematical analysis, a quantification method, and a numerical framework to mitigate the checkerboarding issue. The study is particularly relevant for magnetohydrodynamics (MHD) at low magnetic Reynolds numbers, where numerical stability and conservation laws are critical.

The thesis is structured as follows:

Chapter 1 introduces CFD and the FVM approach, the motivation for the study, and the challenges in simulating incompressible flows. Chapter 2 explores the mathematical origins of checkerboarding, highlighting how the wide-stencil Laplacian operator and mesh topology contribute to the issue. Chapter 3 introduces a checkerboard coefficient, which allows real-time quantification of the problem. A novel numerical solver is developed, balancing numerical dissipation with checkerboarding effects. Chapter 4 applies the methodology to MHD flows, incorporating a symmetry-preserving framework and testing it on electromagnetic Taylor-Green vortex and turbulent duct flow cases. The results demonstrate improved accuracy, stability, and conservation of current density. Chapter 5 presents conclusions and future research directions, including potential extensions to higher-order schemes and alternative grid arrangements.

The key contributions of this work include: A mathematical understanding of checkerboarding in collocated FVM schemes. A quantification method using the checkerboard coefficient, enabling real-time monitoring. A numerical strategy that dynamically adjusts numerical dissipation to control checkerboarding. The application of these methods to MHD simulations, demonstrating their effectiveness in high-fidelity engineering applications.

This research is highly relevant for applications involving complex geometries and conservation laws, such as nuclear fusion research (ITER), metallurgical processes, and electromagnetic flow control. The proposed approach enhances numerical stability while maintaining accuracy and conservation properties, laying the groundwork for future advancements in incompressible flow simulations.

(Català) Aquesta tesi estudia el problema de checkerboarding en els mètodes de volums finits (MVF) col·locats per a fluxos incompressibles, un problema numèric causat per la desconnexió entre volums de control adjacents quan s’utilitza un acoblament pressió-velocitat col·locat. Aquesta desconnexió genera oscil·lacions no físiques d’alta freqüència en el camp de pressió, afectant la precisió i estabilitat de les simulacions de dinàmica de fluids computacional (CFD). La investigació proporciona una anàlisi matemàtica, un mètode de quantificació i un marc numèric per mitigar el problema del checkerboarding. L’estudi és especialment rellevant per a la magnetohidrodinàmica (MHD) a baixos nombres de Reynolds magnètics, on l’estabilitat numèrica i les lleis de conservació són crucials.

L’estructura de la tesi és la següent:

Capítol 1 introdueix la CFD i l’enfocament MVF, la motivació de l’estudi i els reptes en la simulació de fluxos incompressibles. Capítol 2 explora els orígens matemàtics del checkerboarding, destacant com l’operador laplacià de stencil ampli i la topologia de la malla contribueixen al problema. Capítol 3 introdueix un coeficient de checkerboarding, que permet quantificar el problema en temps real. Es desenvolupa un solucionador numèric innovador que equilibra la dissipació numèrica amb els efectes del checkerboarding. Capítol 4 aplica la metodologia als fluxos MHD, incorporant un marc de conservació simètrica i provant-lo en el vòrtex electromagnètic de Taylor-Green i en casos de flux turbulent en conductes. Els resultats demostren una millora en la precisió, estabilitat i conservació de la densitat de corrent. Capítol 5 presenta les conclusions i les direccions per a futures investigacions, incloent-hi possibles extensions a esquemes d’ordre superior i configuracions alternatives de malla.

Les principals contribucions d’aquest treball inclouen: Una comprensió matemàtica del checkerboarding en esquemes MVF col·locats. Un mètode de quantificació basat en el coeficient de checkerboarding, permetent un seguiment en temps real. Una estratègia numèrica que ajusta dinàmicament la dissipació numèrica per controlar el checkerboarding. L’aplicació d’aquests mètodes a simulacions MHD, demostrant la seva efectivitat en aplicacions d’enginyeria d’alta fidelitat.

Aquesta investigació és altament rellevant per a aplicacions que impliquen geometries complexes i lleis de conservació, com la recerca en fusió nuclear (ITER), processos metal·lúrgics i control de fluxos electromagnètics. L’enfocament proposat millora l’estabilitat numèrica alhora que manté la precisió i les propietats de conservació, establint les bases per a futurs avenços en la simulació de fluxos incompressibles.

(Español) Esta tesis estudia el problema de checkerboarding en los métodos de volúmenes finitos (MVF) colocalizados para flujos incompresibles, un problema numérico causado por la desconexión de volúmenes de control vecinos cuando se usa un acoplamiento presión-velocidad colocalizado. Esta desconexión produce oscilaciones no físicas de alta frecuencia en el campo de presión, afectando la precisión y estabilidad de las simulaciones de dinámica de fluidos computacional (CFD). La investigación proporciona un análisis matemático, un método de cuantificación y un marco numérico para mitigar el problema del checkerboarding. El estudio es particularmente relevante para la magnetohidrodinámica (MHD) a bajos números de Reynolds magnéticos, donde la estabilidad numérica y las leyes de conservación son críticas.

La tesis está estructurada de la siguiente manera:

Capítulo 1 introduce la CFD y el enfoque MVF, la motivación del estudio y los desafíos en la simulación de flujos incompresibles. Capítulo 2 explora los orígenes matemáticos del checkerboarding, destacando cómo el operador laplaciano de stencil amplio y la topología de la malla contribuyen al problema. Capítulo 3 introduce un coeficiente de checkerboarding, que permite la cuantificación en tiempo real del problema. Se desarrolla un solucionador numérico innovador que equilibra la disipación numérica con los efectos del checkerboarding. Capítulo 4 aplica la metodología a flujos MHD, incorporando un marco de conservación simétrica y probándolo en el vórtice electromagnético de Taylor-Green y en casos de flujo turbulento en conductos. Los resultados demuestran una mejora en la precisión, estabilidad y conservación de la densidad de corriente. Capítulo 5 presenta las conclusiones y las direcciones para futuras investigaciones, incluyendo posibles extensiones a esquemas de orden superior y configuraciones alternativas de malla.

Las principales contribuciones de este trabajo incluyen: Una comprensión matemática del checkerboarding en esquemas MVF colocalizados. Un método de cuantificación basado en el coeficiente de checkerboarding, permitiendo un monitoreo en tiempo real. Una estrategia numérica que ajusta dinámicamente la disipación numérica para controlar el checkerboarding. La aplicación de estos métodos a simulaciones MHD, demostrando su eficacia en aplicaciones de ingeniería de alta fidelidad.

Esta investigación es altamente relevante para aplicaciones que involucran geometrías complejas y leyes de conservación, como la investigación en fusión nuclear (ITER), procesos metalúrgicos y control de flujos electromagnéticos. El enfoque propuesto mejora la estabilidad numérica al tiempo que mantiene la precisión y las propiedades de conservación, sentando las bases para futuros avances en simulaciones de flujos incompresibles.