Finite element computational modeling of flexoelectricity and flexo-photovoltaics

Abstract

(English) This PhD focuses on the numerical modeling of flexoelectricity and flexo-photovoltaics, both at infinitesimal and finite deformations, using standard C0 Finite Element (FE) approximations. On one side, an alternative formulation to the drift-diffusion semiconductor modeling equations, relying on adimensionalized logarithmic quantities, is developed. The FE implementation of both formulations in an in-house MATLAB code is able to reproduce benchmark problems, demonstrating the benefit of the logarithmic formulation in convection-dominated scenarios, where coarser meshes are able to provide solutions without spurious oscillations. Furthermore, two non-linear solvers are assessed and compared: a monolithic Newton-Raphson method and the Gummel method. On the other side, the focus is placed on the development of the extension of C0 Interior Penalty formulations for the solution of the partial differential equations (PDE) modeling linear flexoelectricity, including additional converse flexoelectricity and gradient dielectricity effects, and on the development of a combined C0 Interior Penalty Newton-Raphson method for the solution of the non-linear PDE modeling flexoelectricity at finite strains. The proposed schemes are able to avoid the drawbacks of C1 approximation spaces or mixed formulations, enabling the solution of fourth-order PDE by standard FE approximations. The computational implementation of the developed numerical schemes has shown the expected high-order convergence of the methods, and is able to reproduce benchmark problems. Moreover, the developed frameworks are extended, incorporating generalized periodicity boundary conditions, to reproduce apparent piezoelectric metamaterials at large deformations. Finally, the coupling of flexoelectricity and semiconductor modeling is carried out. Proof of concept experiments, simulated with the FE solution of the proposed coupled continuum model at infinitesimal deformations, are reported, comparing the obtained results with standard photovoltaic simulations. In addition, the thesis provides a continuum modeling approach for the flexo-photovoltaic effect at finite deformations.

(Català) Aquesta tesi es centra en la modelització numèrica de flexoelectricitat i en l'acoblament flexo-fotovoltaic, tant en petites com en grans deformacions, utilitzant aproximacions d'elements finits (EF) estàndard C0. D'una banda, es desenvolupa una formulació alternativa a les equacions de 'drift-diffusion' habituals per a la modelització de semiconductors, basada en magnituds logarítmiques adimensionalitzades. La solució amb EF d'ambdues formulacions en un codi MATLAB permet reproduir problemes clàssics, demostrant els avantatges de la formulació logarítmica en escenaris amb convecció dominant, on es poden obtenir solucions estables, lliures d'oscil·lacions numèriques, amb malles més grolleres que la formulació 'drift-diffusion'. Es compara a més l'eficiència i la robustesa del mètode de Newton-Raphson i del mètode de Gummel per a la solució del sistema no lineal amb les dues formulacions. D'altra banda, es centra l'atenció també en l'extensió de la formulació C0-IPM per a la solució de les Equacions en Derivades Parcials (EDP) que modelitzen flexoelectricitat lineal, incloent-hi efectes addicionals, i en el desenvolupament d'un mètode combinant C0-IPM amb Newton-Raphson per a la solució de les EDP no lineals que modelitzen flexoelectricitat en grans deformacions. La formulació C0-IPM proposada evita els inconvenients dels mètodes basats en aproximacions amb continuïtat C1 i de les formulacions mixtes, podent calcular aproximacions del sistema d'EDP de quart ordre amb EF estàndard C0. Els exemples numèrics mostren la convergència numèrica d'alt ordre dels mètodes desenvolupats i l'aplicació a problemes d'interès a l'enginyeria. El mètode C0-IPM proposat s'estén també per incorporar condicions de contorn de periodicitat generalitzada, per a la modelització numèrica de metamaterials flexoelèctrics amb piezoelectricitat aparent, en grans deformacions. Finalment, es resol numèricament el model acoblat per a flexoelectricitat en materials semiconductors, amb els mètodes numèrics basats en aproximacions d’EF proposats. Els resultats numèrics es comparen amb simulacions de dispositius fotovoltaics presents a la literatura. La tesi també inclou la proposta d'un model continu per a la simulació de fenòmens flexo-fotovoltaics en grans deformacions.

(Español) Esta tesis se centra en la modelización numérica de flexoelectricidad y en el acoplamiento flexo-fotovoltaico, tanto en pequeñas como en grandes deformaciones, utilizando aproximaciones de Elementos Finitos (EF) estándar C0. Por un lado, se desarrolla una formulación alternativa a las ecuaciones de drift-diffusion habituales para la modelización de semiconductores, basada en magnitudes logarítmicas adimensionalizadas. La solución con EF de ambas formulaciones en un código MATLAB permite reproducir problemas clásicos, demostrando las ventajas de la formulación logarítmica en escenarios con convección dominante, donde es posible obtener soluciones estables, libres de oscilaciones numéricas, con mallas menos finas que la formulación drift-diffusion. Se compara además la eficiencia y robustez del método de Newton-Raphson y del método de Gummel para la solución del sistema no lineal con ambas formulaciones. Por otro lado, se centra la atención también en la extensión de la formulación C0-IPM para la solución de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) que modelizan flexoelectricidad lineal, incluyendo efectos adicionales, y en el desarrollo de un método combinando C0-IPM con Newton-Raphson para la solución de las EDP no lineales que modelizan flexoelectricidad en grandes deformaciones. La formulación C0-IPM propuesta evita los inconvenientes de los métodos basados en aproximaciones con continuidad C1 y de las formulaciones mixtas, pudiendo calcular aproximaciones del sistema de EDP de cuarto orden con EF estándar C0. Los ejemplos numéricos muestran la convergencia numérica de alto orden de los métodos desarrollados y la aplicación a problemas de interés en ingeniería. El método C0-IPM propuesto se extiende también para incorporar condiciones de contorno de periodicidad generalizada, para la modelización numérica de metamateriales flexoeléctricos con piezoelectricidad aparente, en grandes deformaciones. Finalmente, se resuelve numéricamente el modelo acoplado para flexoelectricidad en materiales semiconductores, con los métodos numéricos basados en aproximaciones de EF propuestos. Los resultados numéricos se comparan con simulaciones de dispositivos fotovoltaicos presentes en la literatura. La tesis incluye también la propuesta de un modelo continuo para la simulación de fenómenos flexo-fotovoltaicos en grandes deformaciones.