Aprenentatge i comprensió dels nombres enters: Estudi de significats construïts per alumnes de 15 i 16 anys

Abstract

La recerca de tesi doctoral, "Aprenentatge i comprensió dels nombres enters: Estudi de significats construïts per alumnes de 15 i 16 anys", s'inscriu en l'àrea de coneixement d'educació matemàtica, dins del domini d'estudis sobre l'aprenentatge matemàtic dels estudiants. El context de la recerca és un grup d'estudiants d'una escola catalana de secundària en el seu procés d'aprenentatge dels nombres enters. Aquest és un context empíric proper que serveix per comprendre els significats que els estudiants d'aquestes edats construeixen al voltant dels nombres enters, les seves propietats i operacions.

La pregunta que guia la recerca és la següent: ``Com comprenen els nombres enters un grup d'alumnes de tercer d'educació secundària obligatòria?" Per tal de donar resposta a la pregunta, es planteja una estratègia d'anàlisi centrada en l'assoliment dels següents objectius: 1) Identificar significats atribuïts als nombres enters atenent a la seva estructura i a la polisèmia del signe $-$ ; 2) Relacionar alguns d'aquests significats mitjançant la construcció de patrons de comprensió. S'infereix la rellevància donada a la diversitat de significats del signe $-$, d'una banda, i a la caracterització d'aspectes de la comprensió dels estudiant, de l'altra. L'estratègia d'anàlisi segueix una lògica qualitativa en la interpretació de respostes a qüestionaris i a entrevistes basades en qüestionaris.

Els supòsits per al disseny de qüestionaris i d'entrevistes es prenen de la literatura en l'àmbit de l'ensenyament i aprenentatge dels nombres enters. Es té també en compte el coneixement de la trajectòria curricular seguida pels alumnes participants fins el moment de la recollida de dades, molt particularment dels continguts vinculats a la introducció dels nombres enters i a la seva progressiva consolidació. Amb tot, es pensen preguntes que ajudin a refinar, a confirmar i eventualment a rebatre les expectatives sobre el grau de comprensió d'aquests continguts. En aquest punt, doncs, el disseny dels instruments de recollida de dades és una fase clau de la recerca.

Després de l'anàlisi específica de qüestionaris i d'entrevistes i de l'anàlisi creuada i global posterior, s'obtenen resultats sobre aspectes dels nombres enters que semblen especialment difícils de comprendre. Hi ha, per exemple, estudiants que desenvolupen maneres de re-significar nombres enters negatius a nombres naturals no enters a fi de simplificar tècniques d'operació, amb el corresponent risc de pèrdua del significat original de la tasca. En general, hi ha una tendència a no utilitzar llenguatge algebraic en aquelles tasques on els nombres enters es poden representar així. També hi ha una tendència generalitzada a un ús matemàticament ambigu del zero. Aquests i d'altres resultats són el punt de partida de l'elaboració de patrons de comprensió.

La caracterització de patrons de comprensió dels nombres enters és la principal aportació de la recerca. Per a l'elaboració de patrons, es combinen fonamentadament resultats preliminars sobre la comprensió de continguts específics vinculats als nombres enters (origen, signe $-$, llenguatge algebraic, etc.). S'arriba a un total de 12 patrons que informen sobre 12 estats dins de trajectòries d'aprenentatge. Malgrat que els patrons són un retrat situat en un temps concret, esdevenen una eina teòrica útil a l'hora d'entendre la varietat d'estats possibles en l'aprenentatge dels nombres enters.

The PhD Dissertation "Learning and understanding integers: Study of the meanings constructed by students aged $15$ and $16$", is situated in the area of mathematics education research, particularly in the domain of student mathematics learning. The research context is a group of students of a Catalan secondary school in their processes of learning integers. The undertaken premise is that through such an empirical close context, we can examine the diverse meanings that students of these ages produce for the numerical set of integers, their properties and their operations.

The guiding question of the investigation is as follows: ``How do 9th graders understand integers?" In order to answer it, an analytical strategy is carried out on the basis of two objectives: 1) To identify meanings related to the set of integers according to their structure and the polysemy of the minus sign; 2) To put these meanings into relation by building, when possible, patterns of understanding. It is inferred the relevance given to the plurality of meanings for the minus sign, and on the other hand, the examination of issues concerning student understanding. The analytical strategy follows a qualitative logic of inquiry in the interpretation of the answers to questionnaires and questionnaire-based interviews.

The assumptions in the design of questionnaires and interviews draw on specific literature in the field of teaching and learning integers. It is also taken into account the curricular path followed by the participant students, specially of the taught contents during the introduction and development of integers at school. Nonetheless, the final questions are thought of as coherent within the 9th grade in that they are expect to help clarify, confirm and eventually produce new insights into student understanding. Hence, the data collecting tools are fundamental.

Following the analysis of questionnaries and interviews as well as the successive cross and global analyses, we come to findings about difficulties in the learning of integers. There are, for example, students who develop ways to redefine negative integer numbers into natural non-integer numbers in order to simplify operating techniques, with the consequent risk of losing the meanings in the original task. More generally, there is a tendency to avoid algebraic language in the research tasks where integers can be represented in this language. Another tendency is the use of the number zero in the middle of ambiguous languages. The totally of findings are the point of departure for the development of patterns of understanding.

The characterization of patterns of understanding integers is the main contribution of the research. To develop the patterns, preliminary findings about the meanings for specific contents related to integers (origin, minus sign, algebraic language, etc.), are grounded combined. At the end, twelve patterns are constructed which respectively correspond to twelve positions in the students processes of learning. Even though the patterns are a concrete position of a specific time in the learning, they become a useful theoretical tool in the comprehension of the variety of possible positions along the student learning processes of integers.