Asymptotic expansions, resurgence and large order behaviour of quantum chromodynamics

Abstract

En les teories quàntiques de camps, les prediccions numèriques d’observables físics només es poden calcular amb expansions pertorbatives en potències de les constants d'acoblament, els paràmetres que determinen la força de les interaccions entre camps. Mentre que l’èxit predictiu de la teoria quàntica de camps no es pot negar, aquests càlculs pertorbatius estan plens de divergències.

D’una banda, els coeficients de l’expansió pertorbativa es calculen a partir d’integrals de loops que són divergents la majoria de les vegades. Algunes d’aquestes divergències estan associades a termes no físics que es poden sostreure. En altres casos, s’aplica un procés de renormalització per cancelar aquestes divergències, però això suposa l'elecció d’un conveni teòric (escala i esquema) de la qual els observables físics no poden dependre.

D’altra banda, un cop les integrals de loops han sigut renormalitzades, l’expansió resultant encara suma a una resposta infinita per tots els valors no nuls de la constant d'acoblament. Això succeeix perquè els coeficients de l’expansió creixent factorialment amb l’ordre. Tot i així, aquestes expansions es poden entendre com expansions asimptòtiques, que codifiquen el comportament de l’observable en el límit quan la constant d'acoblament s’acosta a zero, i l’observable es pot aproximar truncant l’expansió a un terme òptim. Aquest segon tipus de divergència no está limitat, de fet, a la teoria quàntica de camps, sinó que pot apareixer en diferents contextos de les matemàtiques i la física: per exemple, en expansions pertorbatives dels valors propis de l’energia d’un sistema de la mecànica quàntica, o com a solucions formals d’una equació diferencial.

A la part I d’aquesta tesi, l’objecte principal d’estudi és la constant d'acoblament forta i les expansions pertorbatives d’observables físics a la quàntica chromodinàmica. Primer, discitum breument com les divergències de loops d’un gluó propagant-se a l’espai amb correccions quàntiques poden ser absorbides dins de la constant d'acoblament forta durant el procés de renormalització. Aquest procés, no obstant, implica el cost d’introduir dependències en l’escala i l’esquema dins la constant d'acoblament, per tant, aquesta no és un observable físic de la teoria. Això motiva una redefinició de la constant d'acoblament tal que la seva dependència en l’esquema es redueix a un sol paràmetre. Després utilitzem aquesta redefinició de la constant d'acoblament en anàlisis fenomenològics d’observables físics associats a dispersions electró-positró, i a la desintegració del Higgs i del tau en hadrons. Demostrem que eleccions apropiades d’aquest paràmetre d’esquema pot donar lloc a millores substancials de les prediccions pertorbatives d’aquests observables.

A la part II, discutim les divergències d’expansions asimptòtiques en el context d’integrals de camí. Convencionalment, el mètode de la sumació de Borel asigna una resposta finita a les expansions divergents. Tot i així, la suma de Borel podria no contenir tota la informació d’una funció, perquè a aquesta li poden faltar correccions exponencialment petites. Llavors considerem una petita variació de la sumació de Borel, on una transformada de Borel generalitzada (una transformada de Laplace inversa) és seguida d’una transformada de Laplace direccionals. Aquestes eines ens permet donar, potser, millors respostes a problemes típics de la sumació de Borel, com la pèrdua de les correccions exponencials i les ambigüitats de la sumació de Borel. A més, definim ressurgència com una connexió entre la discontinuïtat d’una funció i els coeficients de la seva expansió asimptòtica. A partir d’aquesta definició, podem reduir el problema de ressurgència a un problema de correccions exponencials perdudes en les expansions asimptòtiques i podem relacionar diferents formes d’entendre la ressurgència que es troben a la literatura.

For realistic quantum field theories, numerical predictions of physical observables can only be calculated from perturbative expansions in powers of the couplings, the parameters that determine the strength of the field interactions. While the predictive success of quantum field theory is undeniable, these perturbative computations are plagued with divergences.

On one hand, the coefficients of the perturbative expansion are computed from loop integrals that are divergent most of the times. Some of these divergences are associated with unphysical terms that can be subtracted. In other cases, a renormalisation procedure is applied to cancel these divergences, but this entails a choice of theoretical conventions (scale and scheme) which physical observables cannot depend on.

On the other hand, once the loop integrals have been renormalised, the resulting expansion still sums to an infinite answer for all non-vanishing values of the coupling. This is due to the fact that the coefficients of the expansion grow factorially with the order. Still, these expansions can be understood as asymptotic expansions, which encode the limiting behaviour of the observable for small coupling, and whose truncation to an optimal term yields numerical approximations of the observable. This second kind of divergence is in fact not limited to quantum field theories, but it may arise in different contexts of mathematics and physics: for instance, in perturbative approximations to the energy eigenvalues of a quantum mechanic system, or in formal solutions to differential equations.

In part I of this dissertation, the main object of study is the strong coupling constant and the perturbative expansions of physical observables in quantum chromodynamics. First, we briefly discuss how the loop divergence of the quantum corrected gluon propagator can be absorbed inside the strong coupling constant during the renormalisation. This process, however, comes at the cost of introducing scale and scheme dependences into the coupling, therefore it is not a physical observable of the theory. This motivates a coupling redefinition whose scheme dependence is reduced to a single parameter. We then use this coupling redefinition in phenomenological analysis of physical observables associated to electron-positron scattering, and to Higgs and tau decays into hadrons. We demonstrate that appropriate choices of this scheme parameter can lead to substantial improvements in perturbative predictions of these observables.

In part II, we discuss the divergence of asymptotic expansions in the context of path integrals. Conventionally, the method of Borel summation assigns a finite answer to the divergent expansion. Still, the Borel sum might not encode the full information of a function, because it misses exponentially small corrections. We then consider a slight variation of the conventional Borel summation, in which a generalised Borel transform (an inverse Laplace transform) is followed by a directional Laplace transform. These tools allow us to give perhaps better answers to typical problems in Borel summation: missing exponential corrections and ambiguities in the Borel summation. In addition, we define resurgence as a connection between the discontinuity of a function and the coefficients of its asymptotic expansion. From this definition, we can reduce resurgence to the problem of missing exponential corrections in asymptotic expansions and correlate different approaches to resurgence found in the literature.