Innovación en la enseñanza de la trigonometría universitaria: diseño e implementación de una trayectoria hipotética de aprendizaje para ecuaciones trigonométricas con infinitas soluciones

Abstract

Aquesta tesi doctoral va tenir com a objectiu dissenyar, implementar i avaluar una trajectòria hipotètica d'aprenentatge (THA) per a facilitar la construcció del concepte d'equacions trigonomètriques amb infinites solucions, en estudiants de primer any d'enginyeria. Es va fonamentar teòricament en les tipologies d'errors de Radatz (1979), Movshovitz-Hadar et al. (1987) i Socas (1997), així com en el constructe de THA proposat per Simon (1995) i l'heurística de disseny dels models emergents (Gravemeijer, 1999). La metodologia va ser la recerca basada en el disseny. La recerca es va desenvolupar en tres fases. En la primera fase es va efectuar un estudi sobre els errors que cometen els estudiants de primer any d'enginyeria en resoldre equacions trigonomètriques. Aquest estudi va constituir un input clau per al disseny de la THA preliminar per a la construcció d'equacions trigonomètriques amb infinites solucions. En la segona fase, es van realitzar dos cicles d'experimentació amb estudiants d'enginyeria, la qual cosa va permetre aplicar i ajustar progressivament la proposta didàctica. En la tercera fase es va efectuar una anàlisi retrospectiva del progrés dels estudiants en la construcció del concepte matemàtic, la qual cosa va permetre validar i refinar la THA. Els resultats obtinguts proporcionen evidències que la THA va contribuir al fet que els estudiants progressessin des del model-de conjunt solució d'equacions trigonomètriques amb solucions finites en intervals delimitats cap al model-per a conjunt solució d'equacions trigonomètriques amb infinites solucions. Els nivells d'activitat de l'heurística de disseny dels models emergents van donar als estudiants l'oportunitat d'anar construint el concepte d'equacions trigonomètriques amb infinites solucions, des de la seva activitat matemàtica informal (situar angles en la circumferència unitària) cap a un raonament matemàtic més formal (resolució d'equacions trigonomètriques en context). Aquesta tesi ofereix una contribució pràctica i teòrica en l'ensenyament universitari de les matemàtiques. Des de la perspectiva teòrica, aquesta recerca contribueix a l'avanç del coneixement didàctic en trigonometria universitària, proporcionant evidència empírica sobre l'aplicabilitat de l'heurística de models emergents en contextos d'educació superior. Des de la pràctica, la identificació i classificació sistemàtica d'errors específics proporciona informació valuosa per al disseny curricular i la planificació docent, mentre que la THA desenvolupada constitueix una eina pedagògica directament aplicable en cursos de geometria per a enginyeria.

Esta tesis doctoral tuvo como objetivo diseñar, implementar y evaluar una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) para facilitar la construcción del concepto de ecuaciones trigonométricas con infinitas soluciones, en estudiantes de primer año de ingeniería. Se fundamentó teóricamente en las tipologías de errores de Radatz (1979), Movshovitz-Hadar et al. (1987) y Socas (1997), así como en el constructo de THA propuesto por Simon (1995) y la heurística de diseño de los modelos emergentes (Gravemeijer, 1999). La metodología fue la investigación basada en el diseño. La investigación se desarrolló en tres fases. En la primera fase se efectuó un estudio sobre los errores que cometen los estudiantes de primer año de ingeniería al resolver ecuaciones trigonométricas. Este estudio constituyó un insumo clave para el diseño de la THA preliminar para la construcción de ecuaciones trigonométricas con infinitas soluciones. En la segunda fase, se realizaron dos ciclos de experimentación con estudiantes de ingeniería, lo que permitió aplicar y ajustar progresivamente la propuesta didáctica. En la tercera fase se efectuó un análisis retrospectivo del progreso de los estudiantes en la construcción del concepto matemático, lo que permitió validar y refinar la THA. Los resultados obtenidos proporcionan evidencias de que la THA contribuyó a que los estudiantes progresaran desde el modelo-de conjunto solución de ecuaciones trigonométricas con soluciones finitas en intervalos acotados hacia el modelo-para conjunto solución de ecuaciones trigonométricas con infinitas soluciones. Los niveles de actividad de la heurística de diseño de los modelos emergentes dieron a los estudiantes la oportunidad de ir construyendo el concepto de ecuaciones trigonométricas con infinitas soluciones, desde su actividad matemática informal (ubicar ángulos en la circunferencia unitaria) hacia un razonamiento matemático más formal (resolución de ecuaciones trigonométricas en contexto). Esta tesis ofrece una contribución práctica y teórica en la enseñanza universitaria de las matemáticas. Desde la perspectiva teórica, esta investigación contribuye al avance del conocimiento didáctico en trigonometría universitaria, proporcionando evidencia empírica sobre la aplicabilidad de la heurística de modelos emergentes en contextos de educación superior. Desde la práctica, la identificación y clasificación sistemática de errores específicos proporciona información valiosa para el diseño curricular y la planificación docente, mientras que la THA desarrollada constituye una herramienta pedagógica directamente aplicable en cursos de geometría para ingeniería.

This doctoral thesis aimed to design, implement, and evaluate a hypothetical learning trajectory (HLT) to facilitate the construction of the concept of trigonometric equations with infinite solutions among first-year engineering students. The theoretical framework was based on the error typologies proposed by Radatz (1979), Movshovitz-Hadar et al. (1987), and Socas (1997), as well as on Simon’s (1995) construct of HLT and the design heuristic of emergent models (Gravemeijer, 1999). The methodology followed was design-based research. The study was carried out in three phases. In the first phase, a study was conducted on the errors made by first-year engineering students when solving trigonometric equations. This study served as a key input for the design of the initial HLT for constructing trigonometric equations with infinite solutions. In the second phase, two experimental cycles were carried out with engineering students, allowing for the progressive implementation and refinement of the didactic proposal. In the third phase, a retrospective analysis was conducted on students’ progress in constructing the mathematical concept, which enabled the validation and refinement of the HLT. The results provide evidence that the HLT supported students in progressing from a model-of the solution set of trigonometric equations with finite solutions within bounded intervals to a model-for the solution set of trigonometric equations with infinite solutions. The levels of activity in the design heuristic of emergent models offered students opportunities to build the concept of trigonometric equations with infinite solutions, starting from their informal mathematical activity (locating angles on the unit circle) toward more formal mathematical reasoning (solving trigonometric equations in context). This thesis offers both practical and theoretical contributions to university-level mathematics education. From a theoretical perspective, it advances didactical knowledge in university trigonometry by providing empirical evidence of the applicability of the emergent models heuristic in higher education contexts. From a practical standpoint, the systematic identification and classification of specific errors provide valuable information for curriculum design and instructional planning, while the developed HLT serves as a pedagogical tool directly applicable in geometry courses for engineering students.