On partially saturated formations of finite groups.

Abstract

This thesis deals with finite groups. More precisely, it studies formations,<br/>which are classes of groups closed under taking homomorphic images and<br/>subdirect products. The concept of X-local formation, where X is a class<br/>of simple groups, generalises the concepts of local formation and Baer-local<br/>formation. It was introduced by F¨orster with the aim of generalising the<br/>well-known theorems of Gasch¨utz-Lubeseder-Schmid and Baer. The first one<br/>states that a formation is saturated if and only if it is local. The second one<br/>characterises Baer-local formations as the solubly saturated ones. F¨orster<br/>introduced a Frattini-like subgroup associated with the class X and which<br/>allowed him to introduce the concept of X-saturation. In the first chapter<br/>of the thesis a new Frattini-like subgroup is defined. This subgroup allows<br/>us to give a more natural generalisation of the above-mentioned theorems.<br/>Moreover, X-local formations are characterised as the classes of groups with<br/>generalised central chief factors. In the second chapter the relation between<br/>this family of formations and the one of !-saturated formations, where ! is<br/>a set of primes, is studied. The third chapter is devoted to analyse some<br/>problems on the product of two formations. A classical result states that the<br/>product of two saturated formations is a saturated formation. This result<br/>is not true in general for solubly saturated formations. We give conditions<br/>on two X-saturated formations to ensure that the product is an X-saturated<br/>formation. As a corollary we obtain a result for products of Baer-local<br/>formations. The starting point of chapter four is a question posed by Skiba<br/>in the Kourovka Notebook dealing Baer-local formations generated by a<br/>group. We study a more general question by using the concept of X-local<br/>formation. Moreover, we give a complete description of the factorisations of<br/>an X-local formation generated by a group.

La tesis se enmarca dentro de la teor´ýa de grupos finitos. M´as concretamente,<br/>se centra en el estudio de las formaciones de grupos, que son las<br/>clases de grupos cerradas para cocientes y para productos subdirectos. El<br/>concepto de formaci´on X-local, donde X es una clase de grupos simples,<br/>generaliza los conceptos de formaci´on local y formaci´on de Baer. Fue introducido<br/>por F¨orster con la idea de generalizar los conocidos teoremas de<br/>Gasch¨utz-Lubeseder-Schmid y de Baer. El primero de ellos afirma que una<br/>formaci´on es saturada si, y s´olo si, es local. El segundo caracteriza las formaciones<br/>Baer-locales como las resolublemente saturadas. Para ello F¨orster<br/>introdujo un subgrupo de tipo Frattini asociado a la clase X del cual surge<br/>el concepto de X-saturaci´on. En el primer cap´ýtulo de la tesis se define un<br/>nuevo subgrupo mediante el que se consigue una generalizaci´on m´as satisfactoria<br/>de los teoremas mencionados. Tambi´en se caracterizan las formaciones<br/>X-locales como las clases de grupos con factores principales generalizados.<br/>En el segundo cap´ýtulo se estudia la relaci´on entre esta familia de formaciones<br/>y la de las formaciones w-saturadas, donde w es un conjunto de n´umeros<br/>primos. En la tesis tambi´en se abordan problemas relativos al producto de<br/>dos formaciones. Un resultado cl´asico de teor´ýa de clases de grupos afirma<br/>que el producto de dos formaciones saturadas es una formaci´on saturada.<br/>Este resultado no es cierto en general para formaciones resolublemente saturadas.<br/>En el cap´ýtulo tercero se presentan condiciones necesarias y suficientes<br/>para que el producto de dos formaciones X-saturadas sea una formaci´on Xsaturada.<br/>Como consecuencia, cuando X es la clase de los grupos simples<br/>abelianos, obtenemos un resultado para productos de formaciones resolublemente<br/>saturadas. El punto de partida del cap´ýtulo cuarto es una pregunta<br/>de Skiba que aparece en la edici´on de 1992 del Kourovka Notebook sobre<br/>formaciones Baer-locales generadas por un grupo. Nosotros abordamos una<br/>cuesti´on m´as general usando formaciones X-locales. Adem´as, damos una descripci´on completa de las factorizaciones de una formaci´on X-local generada<br/>por un grupo.